基礎数理(平成24年度冬学期) 講義予定 ----------------------------------------------------------------- 第0部 この講義について 工学における数学の役割,モデルとデータ,現象と論理,共通の論理構造 ----------------------------------------------------------------- 第1部 集合 (物事の関係を整理する手法) [3回] [第1回] 1 集合と集合関数 1.1 集合に関する記号 1.2 包除原理 (個数の数え方) 要素数,モジュラ関数,加法的集合関数 1.3 劣モジュラ関数 (自由度や容量のもつ性質) 最大値 部分空間の次元 [第2回] 2 2項関係 (同種の物の間の関係) 2.1 順序関係 2項関係とグラフ,推移的閉包 2.2 同値関係 (分類の手法) 同値類,商構造,well-defined,有理数の構成 2.3 擬順序関係 (サブシステムの捉え方) 同値関係+半順序,グラフの強連結成分分解, サブシステムへの分解と階層構造 2.4 集合族 イデアル,分配束,コンパクトな表現 [第3回] 3 接続関係 (異種の物の間の関係) 2部グラフ 方程式系の構造解析,ブロック三角化,階層の抽出, Dulmage-Mendelsohn分解(DM分解) 劣モジュラ関数との関係 ----------------------------------------------------------------- 第2部 位相 (近似の良さを扱う手法) [5回] [第4回] 1 近似と収束 1.1 数値の近似 Newton法(方程式の数値解法),収束の定義,速さ 1.2 関数の近似 Fourier級数,多項式近似,ウェーブレット 2 数列の収束 2.1 収束の定義 2.2 点列の収束と実数の連続性 有界性,単調増大列,収束部分列,有理数と実数の対比 2.3 Cauchy列 基本列 [第5回,第6回] 3 距離空間 (近似を論じる土俵) 3.1 距離空間の定義 距離の公理,距離空間の例 3.2 収束 開球 3.3 完備性 (近似の努力が報われる) Cauchy列,連続関数の空間 3.4 開集合,閉集合,コンパクト集合 [第7回,第8回] 4 連続関数 4.1 関数の連続性 連続性の定義 4.2 連続関数の性質 最大値と最小値 (最適化の努力が報われる) 4.3 一様収束 (関数列が収束するとは) 関数列の極限,関数の間の距離,一様ノルム,積分の収束 4.4 縮小写像の原理 (関数の存在を証明する) 陰関数定理,等式制約下の最適化におけるラグランジュの未定乗数法 ----------------------------------------------------------------- 第3部 行列 (線形性をもつシステムを扱う手法) [5回] [第9回] 1 序 1.1 線形システム 1.2 工学における行列 行列は どのように 生じるか---偏微分方程式,線形計画 どのような 行列が 生じるか---大規模疎行列 何を どのように 計算するか---数値計算法 1.3 標準形とは 許容変換・不変量・美しい形(代表元) 許容変換---座標のとり方の自由度(=恣意性=非本質) 不変量 ---本質はなにか 美しい形---計算と理解に便利な表現形式 [第10回] 2 線形方程式系 2.1 線形独立性 線形独立,線形従属 2.2 階数(ランク) ランク標準形 2.3 基本変形 行基本変形,列基本変形 2.4 可解性 2.5 行列式 Laplace展開,多重線形性 2.6 逆行列とCramerの公式 [第11回] 3 対称行列 3.1 固有値の定義 実数性,一般化固有値 3.2 固有値標準形 直交変換による対角化 3.3 最大最小定理 Rayleigh商 3.4 正定値性 正定値,半正定値,2次形式の凸性 3.5 2次形式 楕円体,合同変換による対角化,Sylvesterの慣性律,符号, 平方完成 [第12回] 4 非対称行列の固有値 4.1 固有値の定義と意味 特性方程式 4.2 Jordan標準形 [第13回] 5 非対称行列の特異値 5.1 特異値の定義と意味 直交変換の下での不変性,計量 5.2 特異値分解 -----------------------------------------------------------------